Glosario con términos geométricos

A

• ÁNGULO: Es una figura que se compone de dos rayos que comparten un extremo en común o dos líneas que se intersectan. Los rayos o las líneas son los lados del ángulo y el extremo es el vértice del ángulo;  es el punto donde se unen o intersectan dos líneas o segmentos de línea.

• ARCO CAPAZ: Arco capaz es un arco de circunferencia que se extiende de un extremo a otro de un segmento, que posee la propiedad de que al unir cualquier punto de su circunferencia con los extremos del segmento siempre se forma el mismo ángulo. 

* El arco capaz de ángulo ϒ de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos P tales que ∠APB= ϒ y son exclusivamente dos arcos de circunferencia, uno a cada lado del segmento AB, ambos puntos se incluyen uniendo dichos arcos.

2 ϒ=∠APB

B

C

• CONCíCLICO: Adjetivo usado en la geometría para calificar a los puntos que están sobre una misma circunferencia. Cuatro puntos concíclicos forman un cuadrilátero cíclico.

D

E

• EJE RADICAL: Se denomina eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia con respecto a ambas circunferencias. 

* El eje radical será siempre perpendicular a la recta que une los centros de ambas circunferencias.

MA * MB = MC *MD

F

G

H

• HAZ CORRADICAL: Se define haz de circunferencias corradicales como todas las circunferencias que son ortogonales a dos dadas. También se pueden definir como haces de circunferencias equipotentes con respecto a dos puntos. La propiedad fundamental es que el eje radical de cualquier pareja de circunferencias del haz es el mismo, por lo que se trata del eje radical del haz al completo. Además, los centros de las circunferencias de un haz corradical pertenecen todos a una misma recta, perpendicular al eje radical. Esta recta se denomina recta base. Puede haber circunferencias parabólicas, elípticas o hiperbólicas.

* Su naturaleza viene dada por el número de circunferencias de radio nulo en el haz. 

* No existen circunferencias de radio nulo en el haz. Sin embargo, todas las circunferencias del haz pasan por dos puntos, denominados puntos fundamentales del haz, F1 y F2.

Problemas básicos de pertenencia a un haz:

-  Con centro conocido (en la base)

-  Con radio conocido

-  Pasa por un punto dado

* Existen dos circunferencias de radio nulo en el haz. Estos dos puntos se denominan puntos límites, L1 y L2. Se corresponden con los puntos de corte de las circunferencias ortogonales al haz 

• HOMOTECIA: La Homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:

* Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).
* La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

I

• INVERSIÓN: La Inversión es una transformación geométrica plana en la cual los puntos relacionados o transformados denominados inversos (A,A´),  están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Inversión (O).

* El producto de los segmentos trazados desde los puntos inversos al centro es una constante llamada potencia de la inversión (k).

Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

J

K

L

M

N

O

P

• POTENCIA: La potencia de un punto respecto de una circunferencia, es la relación que existe entre un punto y los puntos de corte de las rectas que partiendo de él cortan a la circunferencia. Al producto de esas dos distancias se la llama potencia y es siempre la misma independientemente de que recta se utilice.

Q

R

S

T

• TEOREMA DEL CATETO: Teorema del cateto , en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. El teorema del cateto se utiliza para hallar la media proporcional entre dos números.

* Si c es la hipotenusa, a y b los catetos y n y m sus proyecciones respectivas sobre c, se verifica que c/a=a/m y c/b=b/n o lo que es lo mismo; a²=m·c y b²=n·c.

• TEOREMA DE ALTURA: El Teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

* En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (a y b).

a/h=h/b    h=√a·b

• TEOREMA DE PITÁGORAS: El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa. L
  os dos lados que forman el ángulo recto son catetos . El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa. 

* El Teorema de Pitágoras enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos ) al cuadrado. Es decir: Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos menores (<90°).

c² = a² + b²

Siendo a y b los dos catetos y c la hipotenusa

• TEOREMA DE TALES: El Teorema de Tales (también dicho teorema de Thales) son fundamentales de la geometría y se componen de dos teoremas.

* El Primer Teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo generado será semejante al primero. 

Al triángulo Δ ABC se le traza el segmento A’C’. Vemos que aparece un nuevo triángulo Δ A’BC’ semejante al primero. Tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

De acuerdo con el teorema, se verifica que:

        

Esa razón de proporcionalidad se mantiene entre dos lados de un mismo triángulo y también entre los lados correspondientes del otro.

* Otra variante del primer teorema de Tales: Si dos rectas cualquiera (en la imagen: m y n) son cortadas por una serie de rectas paralelas (en la imagen: r, s y t), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta.

Donde se sigue verificando la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera formulación de este teorema:

• TRANSFORMACIÓN (INVOLUTIVA O INVOLUTORIA): es un caso de transformación geométrica en la que, aplicando el mismo proceso de transformación a la figura segunda, se obtiene de nuevo la figura primera. También es una transformación cíclica de periodo 2; y coincide con su inversa.

U

V

X

Y

Z