Reducción de Problemas de Geometría

 

Hoy os voy a hablar de uno de los clásicos de la geometría, los problemas fundamentales de tangencias (PFT) Este tipo de ejercicios son muy comunes en el temario de secundaria, dentro de la asignatura de dibujo técnico, así que conocerlos y saber resolverlos es fundamental.

Hay varios ejercicios que aunque parecen diferentes, la forma de resolverlos es la misma, sólo hay que analizar el problema y estructurarlo de forma que todos se resuelven igual.

Vamos a hacer la demostración con estos dos ejercicios: 

Hallar las circunferencias tangentes a la recta(as) dada y que pasen por el (los) puntos dados

                    EJERCICIO 1                                                                EJERCICIO 2

En ambos ejercicios, la estrategia a seguir es la misma; primeramente tenemos que determinar la recta base (que contendrá a los centros) y el eje radical, que será la recta perpendicular a la recta base y que pase por los puntos dados.

En el ejercicio 1, al tener dos rectas, la recta base y por tanto los centros de las circunferencias tangentes estarán contenidos en la bisectriz de dichas rectas; y el eje radical será una recta perpendicular a la recta base que pasa por el punto A dado.

En el ejercicio 2, la recta base estará contenida en la mediatriz de los puntos dados A y B; aquí podemos explicar también que el punto B al hacer la mediatriz, se convierte en el homotético del punto A, siendo B=A´. El eje radical, al igual que antes, se obtiene mediante una recta perpendicular a la recta base que pasa por el punto A y B dados.

Una vez hemos obtenido la recta base y el eje radical, sabemos que la intersección del eje radical con la recta dada nos proporciona el CR (centro radical); sabiendo el CR, procedemos ha obtener los puntos de tangencia; y para ello debemos valernos de una circunferencia auxiliar cualquiera, con centro en la recta base, y que pase por los puntos dados A y B. a continuación, mediante arco capaz desde CR y el centro Oaux, obtenemos el punto de tangencia T, de la circunferencia Oaux con respecto a CR.

Sabiendo el Punto T, procedemos a realizar una circunferencia con radio CR - T que al cortarse con la recta dada, nos permite obtener los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Teniendo los puntos de Tangencia T1 y T2, ya podemos obtener los centros de las circunferencias, siendo estos la intersección de la recta perpendicular a la recta dada (s) desde T1 y T2; con la recta base (recta contenedora de todos los centros de las infinitas circunferencias que pasan por A y B). Obtenemos O1 y O2.

                                                        SOLUCIÓN EJERCICIO 1

                                                        

                                                        SOLUCIÓN EJERCICIO 2

Cómo podéis ver, dos ejercicios aparentemente diferentes, son en realidad el mismo, teniendo que seguir el mismo proceso para solucionarlo.

Espero que os haya sido útil!

Nos vemos en próximas entradas :-)