Determinacion del inverso de un punto. Estudio de construcciones

 

Tras un tiempo de inactividad, hoy toca hablar de INVERSIÓN, tema bastante complejo, así que os recomiendo estar despejados; sino haceros un café ;-)

Recordaros que en la entrada "glosario de términos geométricos" hemos abordado conceptos necesarios para entender mejor este tema y siempre podéis acudir a la entrada para consultar vuestras dudas.

La Inversión es una transformación geométrica plana en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan inversos, y cumplen las siguientes condiciones:

    ·    Los puntos inversos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Inversión (O).

    ·      El producto de los segmentos trazados desde los puntos inversos al centro es una constante llamada potencia de la inversión (k).

K²=OP*OP´
(Izquierda) Inversión negativa. K²<0                                                           (Derecha) Inversión positiva K²>0 

Aplicando el concepto de potencia de un punto con respecto a una circunferencia podemos deducir que dos pares de puntos inversos se encuentran siempre en una misma circunferencia:

Potencia de C respecto a la circunferencia (K)
K²= CA*CA´=CB*CB´= cte de inversión

*Propiedades:

1_Dos pares de puntos inversos, (teniendo el mismo centro de inversión) serán concíclicos,  y por lo tanto pertenecerán a una misma circunferencia.

2_Si el centro de una inversión coincide con el centro de una circunferencia, existen dos autoinversiones que relacionan la circunferencia consigo misma. En la primera, k=r² (figura de la izquierda) dando como resultado un punto doble A=A´, y en la segunda k=-r² (figura de la derecha).

3_Las rectas formadas por la unión de puntos inversos, serán siempre antiparalelas, es decir, la recta A-A' y la recta B-B´ nunca serán paralelas. Además, las rectas A-B y A´-B´ serán paralelas entre sí, cumpliéndose el Teorema de Thales.

⇨A la hora de hacer ejercicios, una inversión puede definirse dando los siguientes datos:

·  El centro O y la constante k.
·  El centro O y un par de puntos inversos A-A’.
·  Dos pares de puntos inversos A-A’ y B-B’.

Hoy vamos ha ver como dados la constante de inversión (K) y el centro de inversión (O), podemos obtener el inverso del punto (P) dado, de tres formas diferentes:

1ª Aplicando el concepto de POTENCIA

Apoyándonos en el concepto de potencia, sabemos que dos puntos inversos pertenecen a una misma circunferencia; es por ello, que conociendo la potencia K (radio de la circunferencia de autoinversión) podemos obtener un segundo punto Q= Q' (punto doble que pertenece a la circunferencia de autoinversión)

-Una vez tenemos el punto (P), y el Q = Q´ podemos obtener la circunferencia que contiene todos los puntos. Para ello unimos P y Q y obtenemos la mediatriz, pues dicha circunferencia tendrá el centro en la mediatriz. 

-Continuamos uniendo Q con el centro de inversión (I) y realizamos una recta perpendicular a IQ por el punto Q; dicha recta cortará a la mediatriz de PQ y nos dará el centro de la circunferencia que contiene todos los puntos.

-Trazamos la circunferencia con centro en O y radio OP.

Por último, también sabemos que que el inverso de un punto se encuentra en la recta IP; siendo la intersección de esta recta con la circunferencia el punto P´.

2ª Aplicando el Teorema de Thales

Si empleamos el Teorema de Thales, también podremos obtener el punto P´ inverso de P; ya que con este teorema podemos relacionar segmentos. 

La inversión esta definida por su potencia según la siguiente fórmula:

K²= IP*IP´=IQ*IQ´ de la que se puede obtener la siguiente relación: IP/IQ =IP´/IQ´

En nuestro caso, Q=Q´ siendo un punto doble; es por eso que tenemos que desdoblar el punto Q a modo abatimiento, para poder sacar una proporción (Q´´).

PASOS a seguir:

-Primeramente trazamos la recta que une IP, puesto que sabemos que P´ está contenida en esta recta.

-Continuamos situando el punto Q=Q' (contenido en la circunferencia de autoinversión) sobre la recta IP.

-Ahora desdoblamos el punto Q en otro punto de la circunferencia de autoinversión Q´´ para poder establecer una relación entre los puntos.

-Unimos P con Q´´ resultando la recta PQ´´.

-Por Q=Q´ trazamos una paralela a PQ´´ que cortara a la recta auxiliar IQ´´ en un punto P´´.

-Des abatimos el punto P" sobre la recta IP, y obtenemos el punto P´ buscado.

3ª Aplicando el Teorema de la altura.

Como última de las opciones posibles para obtener el inverso del punto P, vamos a emplear el Teorema de la altura, aunque también podríamos emplear el teorema del cateto entre otros.

Sabemos que por el Teorema de la altura; la altura (H) de un triángulo rectángulo es media proporcional de la hipotenusa y la divide en dos segmentos (n) y (m).

Para relacionar dicho teorema con la inversión en nuestro ejercicio, relacionaremos la altura del triángulo H con la potencia K y situaremos la altura perpendicular al centro de inversión I. el Punto A será nuestro punto doble Q=Q´ , C será nuestro punto P dado, y B será la inversión negativa de P, (-P´).

PASOS a seguir:

-Primeramente trazaremos una recta que una P con I, ya que sabemos que P´ estará contenida en dicha recta.

-Continuamos trazando una recta perpendicular  a la recta IP por el punto I, que cortará a la circunferencia de autoinversión en el punto Q=Q´

-Uniremos el punto Q=Q´ con el punto P, resultando el cateto (b)

-Ahora trazamos una recta perpendicular al cateto b por el punto Q=Q´  que cortara a la recta IP en un punto (-P´). 

Como comentamos antes, este Teorema nos da la inversión negativa del punto P, pero nosotros estamos buscando la inversión positiva, es por eso que tenemos que trasladar el punto -P´ al otro lado del centro de inversión (I), resultando el punto P´ buscado.

Como podéis ver, no hay una única forma de afrontar los problemas; es por eso que teniendo los conceptos claros, nos pueden ser útiles en diversos problemas.

Seguro que con estas explicaciones, podéis encontrar  el método que mejor entendéis para solucionar los ejercicios.

Nos vemos en la siguiente entrada!